Un producto vectorial es una de las acciones más comunes utilizadas en el álgebra vectorial. Esta operación ha encontrado una amplia aplicación en ciencia y tecnología. El concepto más claro y exitoso se usa en mecánica teórica.
Instrucciones
1. Considere un problema mecánico para el cual se requiere un producto vectorial. Como es sabido, el momento de fuerza relativo al centro es igual al producto de esta fuerza en su brazo (ver Fig. 1a). El brazo h en la situación presentada en la figura está determinado por la fórmula h = | OP | sen (π-φ) = | OP | sinφ. Aquí F se aplica al punto P. Por otro lado, Fh es igual al área del paralelogramo construida en los vectores OP y F.
2. La fuerza F causa la rotación de P con respecto a 0. Como resultado, obtenemos un vector dirigido a lo largo de la conocida regla del "perforador". Por lo tanto, el producto Fh es el módulo del momento vector de la fuerza OMo, que es perpendicular al plano que contiene los vectores F y OMo.
3. Por definición, el producto vectorial a y b es un vector c, denotado por c = [a, b] (hay otras anotaciones, más a menudo por cruce), c debe cumplir las siguientes propiedades: 1) s ortogonal (perpendicular) ayb, 2) | c | = | a || b | sinφ, donde φ es el ángulo entre ayb, 3) los tres a, b y c-vientos derechos, es decir, la rotación más corta desde a hasta b es en sentido antihorario.
4. Sin entrar en detalles, se debe notar que todas las operaciones aritméticas excepto la propiedad de conmutatividad ( permutación ) son válidas para el producto vectorial, es decir, [a, b] no es igual a [b, a]. El significado geométrico del producto vectorial: su módulo es igual al área del paralelogramo (ver Figura 1b).
5. Encontrar un producto vectorial de acuerdo con la definición es a veces muy difícil. Para resolver el problema, es conveniente usar los datos en forma de coordenadas. Ingrese las coordenadas cartesianas: a (ax, ay, az) = ax * i + ay * j + az * k, ab (bx, by, bz) = bx * i + por * j + bz * k, donde i, j, k - vectores de unidad de vector de ejes de coordenadas.
6. En este caso, la multiplicación de acuerdo con las reglas para la divulgación de paréntesis de una expresión algebraica. Tenga en cuenta que sen (0) = 0, sen (π / 2) = 1, sen (3π / 2) = -1, el módulo de cada unidad es 1 y el triple i, j, k es correcto, y los vectores en sí son mutuamente ortogonales . Entonces obtienes: c = [a, b] = (ay * bz-az * por) i- (ax * bz-az * bx) j + (ax * by-ay * bx) k = c ((ay * bz- az * by), (az * bx-ax * bz), (ax * by- * bx)). (1) Esta fórmula es la regla para calcular el producto vectorial en forma de coordenadas. Su deficiencia es engorrosa y, como consecuencia , memorabilidad difícil.
7. Para simplificar el procedimiento de cálculo para un producto vectorial, utilice el determinante vectorial que se muestra en la Figura 2. De los datos que se muestran en la figura, se deduce que en el siguiente paso de la divulgación de este determinante, que se realizó desde su primera línea, el algoritmo (1) . Como puede ver, no hay problemas especiales con la memorización.